Question

（1）求函數(shù)y=log

1

3

(x2-3x)的單調(diào)區(qū)間．
（2）已知函數(shù)f（x）=

x2+4x，  x≥0 4x-x2，  x＜0

，若f（2-a²）＞f（a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令t=x²-3x＞0，求得函數(shù)y=log

1

3

(x2-3x)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（3，+∞），且y=log

1

3

t，本題即求二次函數(shù)t在（-∞，0）∪（3，+∞）上的單調(diào)區(qū)間．
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的增區(qū)間和減區(qū)間，即可求得函數(shù)y的減區(qū)間和增區(qū)間．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，要使f（2-a²）＞f（a），只要2-a² ＞a即可，由此求得a的范圍．

解答：（1）解：令t=x²-3x＞0，求得x＜0，或 x＞3，
函數(shù)y=log

1

3

(x2-3x)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（3，+∞），且y=log

1

3

t，
故本題即求二次函數(shù)t在（-∞，0）∪（3，+∞）上的單調(diào)區(qū)間．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t的增區(qū)間為（3，+∞），減區(qū)間為（-∞，0），
故函數(shù)y的減區(qū)間為（3，+∞），增區(qū)間為（-∞，0）．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）=

x2+4x，  x≥0 4x-x2，  x＜0

在R上是增函數(shù)，
要使f（2-a²）＞f（a），
只要2-a² ＞a 即可，
解得-2＜a＜1，即a的范圍為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．