Question

14．已知直線l₁∥l₂，A是l₁，l₂之間的一個交點，并且A點到l₁，l₂的距離分別為1，2，B是直線l₂上一動點，作AC⊥AB且使AC與直線l₁交于點C，則△ABC的面積最小值為2．

Answer 1

分析 過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F．設∠FAC=θ，由直角三角形中三角函數(shù)的定義，算出AC、AB、從而得到△ABC面積、利用正弦函數(shù)的有界性，可得△ABC面積有最小值．

解答 解：過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F，
則AF=1，AE=2，
設∠FAC=θ，則Rt△ACF中，AC=$\frac{1}{cosθ}$，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=$\frac{2}{sinθ}$，
∴△ABC面積為S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{2}{sin2θ}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴當且僅當θ=$\frac{π}{4}$時，sin2θ=1達到最大值1，
此時△ABC面積有最小值2
故答案為：2．

點評 此題考查了直角三角形中銳角三角函數(shù)定義，正弦函數(shù)的定義域及值域及二倍角的正弦函數(shù)公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．