Question

4．當(dāng)y=2sin⁶x+cos⁶x取得最小值時，cos2x=3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)=sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x，再設(shè)sin²x=t，則t∈[0，1]，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t³+3t²-3t+1，t∈[0，1]，利用導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系求出
sin²x=$\sqrt{2}$-1，再根據(jù)二倍角公式即可求出答案．

解答 解：y=2sin⁶x+cos⁶x=2sin⁶x+（cos²x）³=2sin⁶x+（1-sin²x）³=2sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x-sin⁶x=sin⁶x+1-3sin²x+3sin⁴x，
設(shè)sin²x=t，則t∈[0，1]，
則f（t）=t³+3t²-3t+1，t∈[0，1]，
∴f′（t）=3t²+6t-3，
令f′（t）=3t²+6t-3=0，解得t=$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)f′（t）＞0時，即t∈（$\sqrt{2}$-1，1]，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（t）＜0時，即t∈[0，$\sqrt{2}$-1]，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$-1時，函數(shù)f（t）有最小值，
∴sin²x=$\sqrt{2}$-1時，函數(shù)y=2sin⁶x+cos⁶x取得最小值，
∴cos2x=1-2sin²x=1-2（$\sqrt{2}$-1）=3-2$\sqrt{2}$，
故答案為：$3-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了同角的三角的關(guān)系和二倍角公式和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，換元是關(guān)鍵，屬于中檔題．