Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）設(shè)bn=an+1﹣an ， 證明{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得， an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，
由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，
即bn+1﹣bn=2，
又b1=a2﹣a1=1，
所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，
則a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，
所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
= =（n﹣1）2 ，
又a1=1，
所以{an}的通項(xiàng)公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．
【解析】（Ⅰ）將an+2=2an+1﹣an+2變形為：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由條件得bn+1=bn+2，根據(jù)條件求出b1 ， 由等差數(shù)列的定義證明{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn ， 代入bn=an+1﹣an并令n從1開始取值，依次得（n﹣1）個式子，然后相加，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出{an}的通項(xiàng)公式an ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：或；如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列才能正確解答此題．