Question

在四邊形ABCD中，AB=AD，∠CAB=3∠CAD，∠ACD=∠CBD，則tan∠ACD=（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令∠CAD=θ，∠BAC=3θ，∠CBD=∠ACD=φ，∠BCD=

π

2

-θ．在△ACD、△ABD、△BCD中，利用正弦定理，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）令∠CAD=θ，由題意可得∠BAC=3θ，令∠CBD=∠ACD=φ，設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)為E，
則由AB=AD可得AE⊥BD．
則再由∠BDC=∠CDG，可得△CDG∽△BDC，∴∠BCD=∠CGD=∠AGE=

π

2

-θ．
在△ACD中，

AD

sinφ

=

CD

sinθ

∴CD=

ADsinθ

sinφ

 ①．
在△ABD中，AB=AD，∠BAD=4θ，故BD=2ADsin2θ ②；
在△BCD中，

BD

sin( π 2 -θ)

=

CD

sinφ

 ③，把①②代入③求得sin²φ=

1

4

，∴sinφ=

1

2

，θ=

π

6

，
∴tanφ=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的計(jì)算，考查正弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．