動點M的坐標(x,y)在其運動過程中總滿足關(guān)系式
(x-
3
)
2
+y2
+
(x+
3
)
2
+y2
=4

(1)點M的軌跡是什么曲線?請寫出它的標準方程;
(2)已知直線y=x+t與M的軌跡交于A、B兩點,且OA⊥OB(O為原點),求t的值.
分析:(1)根據(jù)
(x-
3
)
2
+y2
+
(x+
3
)
2
+y2
=4
,可得(x,y)與(-
3
,0),(
3
,0)
的距離之和等于常數(shù)4,由橢圓的定義可知點M的軌跡,從而可得橢圓的方程;
(2)直線y=x+t與M的軌跡方程聯(lián)立,消去y,利用韋達定理及OA⊥OB,即可求得t的值.
解答:0解:(1)∵
(x-
3
)
2
+y2
+
(x+
3
)
2
+y2
=4

∴(x,y)與(-
3
,0),(
3
,0)
的距離之和等于常數(shù)4,
由橢圓的定義可知:此點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓,且a=2,c=
3
0
∴b=1,故橢圓的方程為:
x2
4
+y2=1

(2)直線y=x+t與M的軌跡方程聯(lián)立,消去y可得5x2+8tx+4t2-4=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
8t
5
,x1x2=
4t2-4
5
,
∴y1y2=(x1+t)(x2+t)=
4t2-4
5
-
8t2
5
+t2=-
4
5
+
1
5
t20000000000000000000000000
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=
4t2-4
5
-
4
5
+
1
5
t2=0
t=±
2
10
5
點評:本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,求得橢圓的方程,正確運用韋達定理是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

動點M的坐標(x,y)在其運動過程中總滿足關(guān)系式
(x-
5
)
2
+y2
+
(x+
5
)
2
+y2
=6

(1)點M的軌跡是什么曲線?請寫出它的標準方程;
(2)已知定點T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值;
(3)設(shè)直線l不經(jīng)過原點O,與動點M的軌跡相交于A,B兩點,點G為線段AB的中點,直線OG與該軌跡相交于C,D兩點,若直線AB,CD,AC,AD,DB,BC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,k5,k6,求證:k1•k2=k3•k4=k5•k6

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(x-
5
)
2
+y2
+
(x+
5
)
2
+y2
=6

(1)點M的軌跡是什么曲線?請寫出它的標準方程;
(2)已知定點T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北省武漢外國語學校高二(上)期中數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

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(1)點M的軌跡是什么曲線?請寫出它的標準方程;
(2)已知定點T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北省武漢外國語學校高二(上)期中數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

動點M的坐標(x,y)在其運動過程中總滿足關(guān)系式
(1)點M的軌跡是什么曲線?請寫出它的標準方程;
(2)已知定點T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值;
(3)設(shè)直線l不經(jīng)過原點O,與動點M的軌跡相交于A,B兩點,點G為線段AB的中點,直線OG與該軌跡相交于C,D兩點,若直線AB,CD,AC,AD,DB,BC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,k5,k6,求證:k1•k2=k3•k4=k5•k6

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