Question

選修4-2：（矩陣與變換）
已知a，b∈R，若矩陣M=

-1 a b 3

所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

Answer 1

分析：因?yàn)榫仃嘙=

-1 a b 3

所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，也就是說(shuō)直線l上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后沒(méi)有變，我們可以任取直線l上的兩點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行變換列出兩個(gè)方程，通過(guò)解方程求得a，b的值．

解答：解：（方法一）在直線l上取兩點(diǎn)（

3

2

，0），（0，-3）．
因?yàn)?nbsp;

-1 a b 3

 

3 2 0

=

- 3 2 3 2 b

，

-1 a b 3

 

0 -3

=

-3a -9

，…（6分）
因?yàn)镸對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn)（-

3

2

，

3

2

b），（-3a，-9）仍在直線l上．
代入直線方程得

-3- 3 2 b=3 -6a+9=3

解得

a=1 b=-4

…（10分）
（方法二）設(shè)（x，y）為直線l上任意一點(diǎn)，則

-1 a b 3

 

x y

=

-x+ay bx+3y

，…（3分）
因?yàn)镸對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn)（-x+ay，bx+3y）仍在直線l上，
代入直線方程得：2（-x+ay）-（bx+3y）=3，…（7分）
化簡(jiǎn)得（-2-b）x+（2a-3）y=3，又直線l：2x-y=3，
所以

-2-b=2 2a-3=-1

解得

a=1 b=-4

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查在特殊變換下的不變直線，我們可以根據(jù)特殊值法進(jìn)行求解，是非常方便的，這也是高考中常用的方法．