【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:

年入流量X

40<X<80

80≤X≤120

X>120

發(fā)電機最多可運行臺數(shù)

1

2

3

若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元,若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺?

【答案】
(1)解:依題意,p1=P(40<X<80)= ,

由二項分布,未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率為

=


(2)解:記水電站的總利潤為Y(單位,萬元)

①安裝1臺發(fā)電機的情形,

由于水庫年入流總量大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5000,E(Y)=5000×1=5000,

②安裝2臺發(fā)電機的情形,

依題意,當 40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5000﹣800=4200,

因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1= ,

當X≥80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8,

由此得Y的分布列如下

Y

4200

10000

P

0.2

0.8

所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.

③安裝3臺發(fā)電機的情形,

依題意,當 40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5000﹣1600=3400,

因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2,

當80≤X≤120時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7,

當X>120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×3=15000,因此,P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1,

由此得Y的分布列如下

Y

3400

9200

15000

P

0.2

0.7

0.1

所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.

綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機2臺.


【解析】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項分布,求出未來4年中,至少有1年的年入流量超過120的概率;(2)分三種情況進行討論,分別求出一臺,兩臺,三臺的數(shù)學期望,比較即可得到
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識,掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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商店名稱

銷售額/千萬元

3

5

6

7

9

利潤額/百萬元

2

3

3

4

5

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