Question

設(shè)f（x）=cos2x+sinx
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）將x=

π

3

代入f（x）即可求出f（

π

3

）的值；
（2）根據(jù)f（B）=1且sinB的值域，得到sinB=

1

2

，進(jìn)而確定出B的度數(shù)，利用余弦定理求出a的值，再由c，sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答： 解：（1）當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（

π

3

）=cos

2π

3

+sin

π

3

=

3 -1

2

；
（2）由f（B）=1，得到1-2sin²B+sinB=1，即2sinB（sinB-

1

2

）=0，
∵0＜sinB＜1，∴sinB=

1

2

，
∵b＜c，∴B＜C，即B為銳角，
∴B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即1=a²+3-3a，
解得：a=1或a=2，
當(dāng)a=1時(shí)，S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

3

×

1

2

=

3

4

；
當(dāng)a=2時(shí)，S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．