過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切線,切點(diǎn)為M1,設(shè)M1在x軸上的投影是點(diǎn)P1.又過點(diǎn)P1作曲線C的切線,切點(diǎn)為M2,設(shè)M2在x軸上的投影是點(diǎn)P2….依此下去,得到一系列點(diǎn)M1,M2,…,Mn,…,設(shè)它們的橫坐標(biāo)a1,a2,…,an,…,構(gòu)成數(shù)列{an}.(a1≠0).
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)求證:an≥1+
n
k+1
;
(3)若k=2,記bn=
n
i=0
(-1)i
a
2
n-i
C
i
2n-i+1
,求b2010
分析:(1)要證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,只需利用已知條件證明
an
an-1
=
k
k-1
是常數(shù)即可,利用通項公式的求法直接求其通項公式;
(2)要證an≥1+
n
k+1
,先驗證n=1然后利用二項式定理,采用放縮法證明即可.
(3)若k=2,記bn=
n
i=0
(-1)i
a
2
n-i
C
i
2n-i+1
,求出bn=2bn-1-bn-2,解得bn=n+1,然后求b2010
解答:解:(1)對y=xk求導(dǎo)數(shù),得y/=kxk-1,切點(diǎn)是Mn(an,ank)的切線方程是y-ank=kank-1(x-an).
當(dāng)n=1時,切線過點(diǎn)P(1,0),即0-a1k=ka1k-1(x-a1),得a1=
k
k-1
,
當(dāng)n>1時,切線過點(diǎn)Pn-1(an-1,0),即0-ank=kank-1(an-1-an),得
an
an-1
=
k
k-1
,
所以數(shù)列{an}是首項a1=
k
k-1
,公比為
k
k-1
的等比數(shù)列,且通項公式為an=(
k
k-1
)n

(2)當(dāng)n=1時,a1=
k
k-1
=1+
1
k-1
,當(dāng)n≥2時,應(yīng)用二項式定理,an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n=
C
0
n
+
C
1
n
1
k-1
+
C
2
n
(
1
k-1
)2++
C
n
n
(
1
k-1
)n≥1+
n
k-1

(3)an=2n,bn=
n
i=0
(-1)i22n-2i
C
i
2n-i+1
,設(shè)cn=
n
i=0
(-1)i22n-2i
C
i
2n-1
,
則bn=22n+
n
i=1
(-1)i22n-2i(
C
1
2n-1
+
C
i-1
2n-1
)=
n
i=0
(-1)i22n-2i
C
i
2n-1
-
n-1
j=0
(-1)j22(n-1)-2j
C
j
2(n-1)-j+1
=cn-bn-1
同理cn=22n+
n-1
i=1
(-1)i22n-2i(
C
i
2n-i-1
+
C
i-1
2n-i-1
)+(-1)n
=
n-1
i=0
(-1)i22n-2i
C
i
2n-i-1
+
n
i=1
(-1)i22n-2i
C
i
2n-i-1
+
n
i=1
(-1)i22n-2i
C
i-1
2n-i-1
=4
n-1
i=0
(-1)i22(n-1)-2i
C
i
2(n-1)-i+1
-
n-1
k=0
(-1)k22(n-1)-2k
C
k
2(n-1)-k

=4bn-1-Cn-1
∴bn+bn-1=cn=4bn-1-cn-1=4bn-1-bn-1-bn-2,即bn=2bn-1-bn-2,∴bn-bn-1=bn-1-bn-2═b1-b0=2-1=1,
故bn=n+1,∴b2010=2011.
點(diǎn)評:本題是中檔題,考查數(shù)列的通項公式的求法,數(shù)列的證明,數(shù)列的化簡與構(gòu)造法的應(yīng)用,是本題解題的關(guān)鍵,注意二項式定理的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切線,切點(diǎn)為Q1,設(shè)Q1點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)P1;又過點(diǎn)P1作曲線C的切線,切點(diǎn)為Q2,設(shè)Q2在x軸上的投影是P2;…;依此下去,得到一系列點(diǎn)Q1,Q2,…,Qn,…,設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為an
(Ⅰ)試求數(shù)列{an}的通項公式an;(用k的代數(shù)式表示)
(Ⅱ)求證:an≥1+
n
k-1
;
(Ⅲ)求證:
n
i=1
i
ai
k2-k
(注:
n
i=1
ai=a1+a2+…+an
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•錦州一模)過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=x2(x>0)的切線,切點(diǎn)為Q1,沒Q1在x軸上的投影是P1,又過P1,作曲線C的切線,切點(diǎn)為Q2,設(shè)Q2在x軸上的投影是P2…,依次下去,得到一系列點(diǎn)Q1Q2,…Qn,設(shè)Qn的橫坐標(biāo)為an
(I)求a1的值及{an}的通項公式;
(Ⅱ)令bn=
an(an-1)(an+1-1)
,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=x2(x∈(0,+∞)的切線,切點(diǎn)為M1,設(shè)M1在x軸上的投影是點(diǎn)P1.又過點(diǎn)P1作曲線C的切線,切點(diǎn)為M2,設(shè)M2在x軸上的投影是點(diǎn)P2,….依此下去,得到一系列點(diǎn)M1,M2…,Mn,…,設(shè)它們的橫坐標(biāo)a1,a2,…,an,…,構(gòu)成數(shù)列為{an}.
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)令bn=
nan
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•韶關(guān)二模)如圖,過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=x2(x∈(0,+∞))的切線,切點(diǎn)為Q1,設(shè)點(diǎn)Q1在x軸上的投影是點(diǎn)P1;又過點(diǎn)P1作曲線C的切線,切點(diǎn)為Q2,設(shè)Q2在x軸上的投影是P2;…;依此下去,得到一系列點(diǎn)Q1,Q2,Q3-Qn,設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為an
(1)求直線PQ1的方程;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)記Qn到直線PnQn+1的距離為dn,求證:n≥2時,
1
d1
+
1
d2
+…
1
dn
>3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:y=x2(x>0)的切線,切點(diǎn)為M1,設(shè)點(diǎn)M1在x軸上的投影是點(diǎn)P1,又過點(diǎn)P1作曲線C的切線,切點(diǎn)為M2,設(shè)點(diǎn)M2在x軸上的投影是點(diǎn)P2,…依此下去,得到點(diǎn)列P1,P2,P3,…,記它們的橫坐標(biāo)a1,a2,a3,…構(gòu)成數(shù)列{an}.
(Ⅰ)求an與an-1(n≥2)的關(guān)系式;
(Ⅱ)令bn=
nan
,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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