分析:(1)要證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,只需證明數(shù)列{an}的后一項比前一項是常數(shù)即可,可先對y=x2求導(dǎo)數(shù),y=x2在切點處的導(dǎo)數(shù),就是在該點處的切線的斜率,求出切線方程,就可找到切點在x軸上的投影的橫坐標(biāo),再求相鄰橫坐標(biāo)之商,看是否為常數(shù),就可證出數(shù)列{an}是等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列{an}的通項公式即可.
(2)根據(jù)(1)中所求數(shù)列{an}的通項公式求出數(shù)列{bn}的通項公式,再用錯位相減求前n項和Sn
解答:解:(1)對y=x
2求導(dǎo)數(shù),得y'=2x,切點是M
n(a
n,a
n2)的切線方程是y-a
n2=2a
n(x-a
n).(2分)
當(dāng)n=1時,切線過點P(1,0),即0-a
12=2a
1(1-a
1),得a
1=2;
當(dāng)n>1時,切線過點
Pn-1(an-1,0),即0-=2an(an-1-an),得=2所以數(shù)列{a
n}是首項a
1=2,公比為2的等比數(shù)列.
所以數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=2
n,n∈N
*(6分)
(2)∵
bn=,a
n=2
n,∴
bn=S
n=
+
+
+…+
①
2S
n=
+
+…+
+
②
①-②,得-S
n=
+
+
+…+
-
=
-
=1-
-
=1-
點評:本題考查了等比數(shù)列的證明,以及錯位相減求和.