Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若不等式在上恒成立，求的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化為解決導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題；

（2）分離參數(shù)解決恒成立，討論函數(shù)的最值即可求解.

（1）的定義域?yàn)?/span>，.

因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，所以在上有解.

當(dāng)時(shí)，，

所以，經(jīng)檢驗(yàn)，

當(dāng)時(shí)，得

由得，由得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，符合條件函數(shù)存在極大值點(diǎn)，.

所以的取值范圍為.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

不等式在上恒成立，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立.

令，則.

令，則.

所以在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

所以存在使，即.

所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

由，得.

所以，

所以，所以的最大整數(shù)值為3.