Question

設(shè)x、y滿足約束條件

x-2y+2≥0 2x-y-2≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則

1

a

+

1

b

的最小值是

4

．

Answer 1

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時z最大．
由

x-2y+2=0 2x-y-2=0

，解得

x=2 y=2

，即A（2，2），
此時目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，
即2a+2b=2，∴a+b=1，

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×1=（

1

a

+

1

b

）×（a+b）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

b

=

b

a

，即a=b=

1

2

時取等號．
故答案為：4

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．