Question

已知函數(shù)f(x)=lg

2+x

2-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判定函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）判定f（x）的單調(diào)性，并求不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)要大于0，因此解不等式

2+x

2-x

＞0，得到的解集即為函數(shù)f（x）的定義域；
（2）用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，可得f（-x）=-f（x），由此得到函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）令u=

2+x

2-x

，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得u（x）是（-2，2）上的增函數(shù)，所以f（x）在其定義域上是增函數(shù)．再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，將不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0等價(jià)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式組：

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

，解之即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

2+x

2-x

＞0，即（2+x）（2-x）＞0
整理得：（x+2）（x-2）＜0，解之得-2＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的定義域是（-2，2）；
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下
∵f(x)=lg

2+x

2-x

，
∴f(-x)=lg

2+(-x)

2-(-x)

=lg

2-x

2+x

=lg(

2+x

2-x

)-1=-lg

2+x

2-x

=-f（x）
因此，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）令u=

2+x

2-x

=-1+

-4

x-2

∵u'=

4

(x-2)2

＞0在（-2，2）上恒成立
∴u（x）是（-2，2）上的增函數(shù)，可得f(x)=lg

2+x

2-x

在定義域（-2，2）上是增函數(shù)．
∵不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0可化成f（1-x）＜f（-1+x²），
∴原不等式即：-2＜1-x＜-1+x²＜2，可得不等式組

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

解此不等式組，可得1＜x＜

3

，即原不等式的解集為（1，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有分式的對(duì)數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性并用這些性質(zhì)解關(guān)于x的不等式，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．