【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BCD=60°,點(diǎn)E是BC邊
的中點(diǎn),AC,DE交于點(diǎn)O,,且PO⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥BC;
(2)在線段AP上找一點(diǎn)F,使得BF∥平面PDE,并求此時(shí)四面體PDEF的體積.
【答案】(1)證明見解析.
(2) VP-BDE=1.
【解析】
(1)先證明BC⊥平面PDE,即證PD⊥BC.(2)取AP中點(diǎn)為F,再取PD中點(diǎn)為G,連結(jié)FG,再證明FG⊥平面PDE,最后求四面體PDEF的體積.
(1)由題可得△BCD為正三角形,E為BC中點(diǎn),故DE⊥BC.
又PO⊥平面ABCD,BC平面ABCD,則PO⊥BC,
而DE∩PO=O,平面,
所以BC⊥平面PDE.
又PD平面PDE,故PD⊥BC.
(2)取AP中點(diǎn)為F,再取PD中點(diǎn)為G,連結(jié)FG.
則FG為△PAD中位線,故FG AD,
又BE AD,所以FGBE,于是四邊形BFGE為平行四邊形,
因此BF∥EG.又BF平面PDE,EG平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
由(1)知,BC⊥平面PDE.則有BC⊥PE,BC⊥DE,
而BC∥FG,故FG⊥PE,FG⊥DE,且DE∩PE=E,
所以FG⊥平面PDE.
于是四面體PDEF的體積為V=S△PDE·FG=××2××1=1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:,若橢圓上一點(diǎn)與其中心及長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓E的離心率;
(Ⅱ)如圖,若直線l與橢圓相交于AB且AB是圓的一條直徑,求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,().
(1)計(jì)算,,,,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)由數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列:,,,,,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1],當(dāng)時(shí),。
(1)求函數(shù)在上的值域;
(2)若時(shí),函數(shù)的最小值為-2,求實(shí)數(shù)λ的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)完游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張.
(1)設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況;
(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少?
(3)甲乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認(rèn)為此游戲是否公平,說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長(zhǎng)12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=百米.
(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長(zhǎng)廊OM,求OM的最短長(zhǎng)度;
(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.
(1)若以表示和為6的事件,求;
(2)現(xiàn)連玩三次,若以表示甲至少贏一次的事件,表示乙至少贏兩次的事件,試問與是否為互斥事件?為什么?
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),若存在正實(shí)數(shù)滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有120粒試驗(yàn)種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個(gè)坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個(gè)坑內(nèi),每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種(每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,且第二次補(bǔ)種的種子顆粒同第一次).假定每個(gè)坑第一次播種需要2元,補(bǔ)種1個(gè)坑需1元;每個(gè)成活的坑可收貨100粒試驗(yàn)種子,每粒試驗(yàn)種子收益1元.
(1)用表示播種費(fèi)用,分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望;
(2)用表示收益,分別求出兩種方案的收益的數(shù)學(xué)期望;
(3)如果在某塊試驗(yàn)田對(duì)該種子進(jìn)行試驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?
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