已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a,(a≠0x∈R),有且僅有唯一的實(shí)數(shù)x值滿(mǎn)足f(x)≤0的實(shí)數(shù)x值滿(mǎn)足f(x)≤0.
(1)在數(shù)列{an}中,滿(mǎn)足Sn=f(n)-4,求{an}的通項(xiàng);
(2)在數(shù)列{an}中依次取出第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第4項(xiàng)…第2n-1項(xiàng)…組成新數(shù)列{bn},求新數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)(理科)設(shè)數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn+cn+1=2n+3,c1=1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和記作Hn,試比較Hn與題(1)中Sn的大。
(4)(文科)設(shè)cn=
nanan+1
,求數(shù)列{cn}
的最大和最小值.
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),,△=0,解方程得出a的值,得出Sn=的解析式,利用數(shù)列中Sn與an的固有關(guān)系an=
s1    n=1
sn-sn-1    n≥2
,求出{an}的通項(xiàng)
(2)由已知,得出bn=2×2n-1-5,采用等比數(shù)列求和公式,分組法求和.
(3)(理)由
cn+cn+1=2n+3
cn+1+cn+2=2n+5
得出cn+2-cn=2,偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列,對(duì)n分奇偶性分類(lèi)求和.
(4)(文)cn=
n
(2n-5)(2n-3)
=
n
4n2-16n+15
=
1
4n+
15
n
-16
利用函數(shù)的數(shù)列性質(zhì),得出{cn }的單調(diào)性,再求出最值即可.
解答:解(1)∵f(x)≤0僅有唯一的x值滿(mǎn)足,∴△=0,∴a=0或4,∵a≠0,∴a=4
Sn=n2-4n,an=
s1(n=1)
Sn-Sn-1(n≥2)
=
-3(n=1)
2n-5(n≥2)
an
=2n-5
(2)bn:b1=2×1-5,b2=2×2-5,b3=2×4-5,…bn=2×2n-1-5
Tn=b1+b2+b3+…+bn=2(1+2+4+…+2n-1)-5n
=2
1-2n
1-2
-5n=2(2n-1)-5n=2n+1
-5n-2
(3)(理科)
cn+cn+1=2n+3
cn+1+cn+2=2n+5
,∴cn+2-cn=2,c1=1,c2=4
cn:1,3,5,7,9…
  4,6,8,10…
當(dāng)n為偶數(shù),n=2k,Hn=5+9+13+…=5k+
k(k-1)
2
4=
n2+3n
2

當(dāng)n為奇數(shù),n=2k-1,Hn=1+(7+11+15+…)
=1+7(k-1)+
(k-1)(k-2)
2
4=
n2+3n-2
2

∴Hn=
n2+3n
2
,n=2k(k=1,2,3…)
n2+3n-2
2
,n=2k-1(k=1,2,3…)

當(dāng)n=2k與n=2k-1時(shí),分別比較Hn與Sn大。ㄗ鞑畋容^)
當(dāng)1≤n≤10時(shí),Hn>Sn
當(dāng)n≥11時(shí),Hn<Sn
 (4)(文科)cn=
n
(2n-5)(2n-3)
=
n
4n2-16n+15
=
1
4n+
15
n
-16

c1=
1
3
,c2=-2,當(dāng)n≥3時(shí),4n+
15
n
單調(diào)遞增,且4n+
15
n
-16>0,
∴(cnmin=c2=-2;∴(cnmax=c3=1
點(diǎn)評(píng):本題考查構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的判定,數(shù)列公式法、分組法求和,數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).考查推理論證、計(jì)算能力,分類(lèi)討論的思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿(mǎn)足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案