【題目】拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,若為拋物線上第一象限的一動點,過作的垂線交準(zhǔn)線于點,交拋物線于兩點.
(Ⅰ)求證:直線與拋物線相切;
(Ⅱ)若點滿足,求此時點的坐標(biāo).
【答案】(I)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)設(shè),由此可得直線的斜率,進而得到直線的斜率,由此得到的方程為,令可得點的坐標(biāo),于是可得直線的斜率.然后再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在點A處的切線的斜率,比較后可得結(jié)論.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直線的方程為,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及可求得點A的坐標(biāo).
(Ⅰ)由題意得焦點.設(shè),
∴直線的斜率為,
由已知直線斜率存在,且直線的方程為,
令,得,
∴點的坐標(biāo)為,
∴直線的斜率為.
由得,
∴,即拋物線在點A處的切線的斜率為,
∴直線與拋物線相切.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直線的方程為,
由 消去整理得,
設(shè),
則.
由題意得直線的斜率為 ,
直線的斜率為,
∵ ,
∴,
∴,
∴ ,
整理得,
解得或.
∵ ,
∴,
又,且,
∴存在,使得.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式對于任意成立,求正實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若曲線的一條切線方程為,
(i)求的值;
(ii)若時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知,,其中,則下列判斷正確的是__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①關(guān)于點成中心對稱;
②在上單調(diào)遞增;
③存在,使;
④若有零點,則;
⑤的解集可能為.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的方程為.
(1)以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)曲線與直線的交于點和點,曲線與直線的交于點和點,求的面積.
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【題目】已知函數(shù),,
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若在恒成立,求的取值范圍;
(III)當(dāng),時,證明:
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