Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=12°，B₁C=3．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
（II）求異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）因為AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，所以BB₁⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，所以BB₁⊥BC．
由AB=AC=1，∠BAC=120°，得BC==．
在Rt△B₁BC中，BB₁==．…（4分）
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=AB•ACsin120°•AA₁=×1×1××=．…（6分）
（Ⅱ）因為AC∥A₁C₁，所以∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角或其補角．
由（Ⅰ），BB₁⊥平面ABC，則BB₁⊥AC．
在Rt△B₁BA中，AB₁==．…（9分）
在△B₁CA中，cos∠B₁CA==，∴∠B₁CA=60°，
所以異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大小為60°．…（12分）
分析：（Ⅰ）先證明BB₁⊥BC，再利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=AB•ACsin120°•AA₁，可得結論；
（Ⅱ）確定∠B₁CA為異面直線B₁C與A₁C₁所成角或其補角，在△B₁CA中，利用cos∠B₁CA=，可求異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大�。�
點評：本題考查三棱柱體積的計算，考查異面直線所成角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．