在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(1)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xoy面上,設(shè)點(diǎn)Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點(diǎn)Mn在直線l上,Mn中最高點(diǎn)為Mk,若稱直線l與x軸.直線x=a,x=b所圍成的圖形的面積為直線l在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線l在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
(3)若存在圓心在直線l上的圓紙片能覆蓋住點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)點(diǎn),求該圓紙片最小面積.
分析:本題是解析幾何、數(shù)列、極限多知識(shí)點(diǎn)融合一體的綜合性題,重點(diǎn)考查數(shù)列中an和Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、直線方程的應(yīng)用、極限的思想等;
(1)該小題較易,利用an=sn-sn-1就可以把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系,進(jìn)而得到{an}為等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和易得;
(2)根據(jù)題意可得點(diǎn)Mn
1
2
+
1
2n
1
4
+
3
4n
),令x=
1
2
+
1
2n
,y=
1
4
+
3
4n
,消去n得關(guān)于x、y的方程,再根據(jù)y=
1
4
+
3
4n
是n的減函數(shù)可得M1為Mn中的最高點(diǎn),且M1(1,1),又滿足條件的圖形為直角梯形,從而求得其面積;
(3)根據(jù)直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為M1(1,1),M2
3
4
,
5
8
),M3
2
3
1
2
),…,Mn
1
2
+
1
2n
,
1
4
+
3
4n
),可得其極限點(diǎn)M(
1
2
,
1
4
),從而|M1M|,最小圓紙片的面積即得.
解答:解:(1)由已知得2Sn=2an2+an-1①
故2Sn+1=2an+12+an+1-1②
②-①得2an+1=2an+12-2an2+an+1-an
結(jié)合an>0,得an+1-an=
1
2

∴{an}是等差數(shù)列
又n=1時(shí),2a1=a12+a1-1,解得a1=1或a1=
1
2

∵an>0,∴a1=1
又d=
1
2
,故an=1+
1
2
(n-1)=
1
2
n+
1
2

∴Sn=n+
1
2
n(n-1)
2
=
1
4
n2+
3
4
n;
(2)∵an=nxn,Sn=n2yn
∴xn=
an
n
=
1
2
+
1
2n
,yn=
sn
n2
=
1
4
+
3
4n

即得點(diǎn)Mn
1
2
+
1
2n
1
4
+
3
4n

設(shè)x=
1
2
+
1
2n
,y=
1
4
+
3
4n
,
消去n,得3x-2y-1=0,
即直線C的方程為3x-2y-1=0
又y=
1
4
+
3
4n
是n的減函數(shù)
∴M1為Mn中的最高點(diǎn),且M1(1,1)
又M3的坐標(biāo)為(
2
3
1
2

∴C與x軸.直線x=
2
3
,x=1圍成的圖形為直角梯形
從而直線C在[
2
3
,1]上的面積為
S=
1
2
×(
1
2
+1)×(1-
2
3
)=
1
4
;(9分)
(3)由于直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為
M1(1,1),M2
3
4
,
5
8
),M3
2
3
,
1
2
),
Mn
1
2
+
1
2n
,
1
4
+
3
4n
),
lim
n→∞
1
2
+
1
2n
)=
1
2
,
lim
n→∞
1
4
+
3
4n
)=
1
4

因此,點(diǎn)列Mn沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M(
1
2
,
1
4

1
2
|M1M|=
1
2
(1-
1
2
)2+(1-
1
4
)2  
=
13
8

所以最小圓紙片的面積為
13π
64
點(diǎn)評(píng):本題題型大,覆蓋面廣,應(yīng)用知識(shí)豐富,是一個(gè)難度大的題目;要正確的解好本題,不僅具備全面的知識(shí)方法,還需要一定的耐力,有時(shí)解題的意志力也是決定題目是否解出的重要因素,本題的解答就是一個(gè)很好的例證;所以解題過程中,不僅積累知識(shí)和方法,還是培養(yǎng)人的耐心的方式,是對(duì)人的心理因素的考驗(yàn).
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在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,已知點(diǎn)(an,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=2x的圖象上,且a25=8
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出其通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且bn=an+n,求Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•無為縣模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,對(duì)任意m,n∈N*都有am+n=am•an.若a6=64,則a9等于( 。

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(2006•朝陽區(qū)一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(Ⅰ)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,設(shè)點(diǎn)列Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點(diǎn)列Mn在直線C上,Mn中最高點(diǎn)為Mk,若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線C在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
(Ⅲ)是否存在圓心在直線C上的圓,使得點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓內(nèi)部?若存在,求出符合題目條件的半徑最小的圓;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•朝陽區(qū)一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(Ⅰ)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式;
(Ⅱ)在XOY平面上,設(shè)點(diǎn)列Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點(diǎn)列Mn在直線C上,Mn中最高點(diǎn)為Mk,若稱直線C與x軸、直線x=a,x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線C在區(qū)間[x3,xk]上的面積.

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