在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*.
(1)證明{an}是等差數(shù)列,并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xoy面上,設(shè)點(diǎn)Mn(xn,yn)滿足an=nxn,Sn=n2yn,且點(diǎn)Mn在直線l上,Mn中最高點(diǎn)為Mk,若稱直線l與x軸.直線x=a,x=b所圍成的圖形的面積為直線l在區(qū)間[a,b]上的面積,試求直線l在區(qū)間[x3,xk]上的面積;
(3)若存在圓心在直線l上的圓紙片能覆蓋住點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)點(diǎn),求該圓紙片最小面積.
分析:本題是解析幾何、數(shù)列、極限多知識(shí)點(diǎn)融合一體的綜合性題,重點(diǎn)考查數(shù)列中a
n和S
n的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、直線方程的應(yīng)用、極限的思想等;
(1)該小題較易,利用a
n=s
n-s
n-1就可以把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a
n的遞推關(guān)系,進(jìn)而得到{a
n}為等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和易得;
(2)根據(jù)題意可得點(diǎn)M
n(
+
,
+),令x=
+,y=
+,消去n得關(guān)于x、y的方程,再根據(jù)y=
+是n的減函數(shù)可得M
1為M
n中的最高點(diǎn),且M
1(1,1),又滿足條件的圖形為直角梯形,從而求得其面積;
(3)根據(jù)直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列M
n依次為M
1(1,1),M
2(
,
),M
3(
,
),…,M
n(
+,
+),可得其極限點(diǎn)M(
,
),從而|M
1M|,最小圓紙片的面積即得.
解答:解:(1)由已知得2S
n=2a
n2+a
n-1①
故2S
n+1=2a
n+12+a
n+1-1②
②-①得2a
n+1=2a
n+12-2a
n2+a
n+1-a
n結(jié)合a
n>0,得a
n+1-a
n=
∴{a
n}是等差數(shù)列
又n=1時(shí),2a
1=a
12+a
1-1,解得a
1=1或a
1=
∵a
n>0,∴a
1=1
又d=
,故a
n=1+
(n-1)=
n+
∴S
n=n+
•=
n
2+
n;
(2)∵a
n=nx
n,S
n=n
2y
n∴x
n=
=
+
,y
n=
=
+
即得點(diǎn)M
n(
+
,
+)
設(shè)x=
+,y=
+,
消去n,得3x-2y-1=0,
即直線C的方程為3x-2y-1=0
又y=
+是n的減函數(shù)
∴M
1為M
n中的最高點(diǎn),且M
1(1,1)
又M
3的坐標(biāo)為(
,
)
∴C與x軸.直線x=
,x=1圍成的圖形為直角梯形
從而直線C在[
,1]上的面積為
S=
×(
+1)×(1-
)=
;(9分)
(3)由于直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列M
n依次為
M
1(1,1),M
2(
,
),M
3(
,
),
M
n(
+,
+),
而
(
+)=
,
(
+)=
因此,點(diǎn)列M
n沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M(
,
)
又
|M
1M|=
=
所以最小圓紙片的面積為
.
點(diǎn)評(píng):本題題型大,覆蓋面廣,應(yīng)用知識(shí)豐富,是一個(gè)難度大的題目;要正確的解好本題,不僅具備全面的知識(shí)方法,還需要一定的耐力,有時(shí)解題的意志力也是決定題目是否解出的重要因素,本題的解答就是一個(gè)很好的例證;所以解題過程中,不僅積累知識(shí)和方法,還是培養(yǎng)人的耐心的方式,是對(duì)人的心理因素的考驗(yàn).