已知a，b是不相等的兩個正數(shù)，在a，b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（ n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…，yn，b成等比數(shù)列．老師給出下列五個式子：①
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=1
xk＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
＜
ab
；④
ny1y2…yn
=
ab
；⑤
ny1y2…yn
＞
ab
．其中一定成立的是
 
．
分析：先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式可判斷①②正確，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷③④不正確，⑤正確．
解答：解：依題意可知，a，x1，x2，…，xn，b成等差數(shù)列，則x1+x2+…+xn=
(x1+xn)•n
2

∵x1+xn=a+b
∴
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
成立，故①正確；
∴
1
n
n
k=1
xk=
a+b
2
＞
ab
+(
a
-
b
2
)2
∴②成立；
a，y1，y2，…，yn，b成等比數(shù)列，則y1•yn=y2•yn-1=…=ab，
ny1y2…yn
=
ab
，則④正確；
故③⑤不正確；
故答案為：①②④．
點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)和均值不等式的知識．考查綜合運用能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

按要求證明下列各題．
（1）已知a1+a2+a3+a4＞100，用反證法證明a1，a2，a3，a4中，至少有一個數(shù)大于25；
（2）已知a，b是不相等的正數(shù)．用分析法證明a3+b3＞a2b+ab2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是不相等的正數(shù)，x=
a
+
b
2
，y=
a+b
，則x，y的大小關(guān)系是
x＜y
x＜y
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b是不相等的兩個正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)x1，x2，…xn和y1，y2，…yn（n∈N﹢，且n≥2），使得a，x1，x2，…xn，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…yn，b成等比數(shù)列，則下列四個式子中，一定成立的是
①②
①②
．（填上你認為正確的所有式子的序號）
①
n
k=i
xi=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=i
xi=
a+b
2
＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
=
ab
；④
ny1y2…yn
＞
2ab
a+b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是不相等的正實數(shù)，求證：（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．

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