已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)，求證：（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．
分析：根據(jù)所給的a，b是正數(shù)，把不等號(hào)的左邊的兩個(gè)因式，分別使用均值不等式，注意等號(hào)成立的條件，把所得的兩個(gè)均值不等式相乘，整理成最簡(jiǎn)形式，就是不等式右邊的部分，由a，b是不相等的正實(shí)數(shù)得到等號(hào)不能成立．
解答：證明：∵a，b是正實(shí)數(shù)，
∴a2b+a+b2≥3
3a2b•a•b2
=3ab＞0
（當(dāng)且僅當(dāng)a2b=a=b2即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
同理：ab2+a2+b≥3
3ab2•a2•b
=3ab＞0
（當(dāng)且僅當(dāng)ab2=a2=b即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
∴（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）≥9a2b2．
（當(dāng)且僅當(dāng)ab2=a2=b即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
∵a≠b，
∴（a2b+a+b2）（ab2+a2+b）＞9a2b2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查均值不等式，考查均值不等式等號(hào)成立的條件，考查不等式的基本性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目，這種題目在大型考試中單獨(dú)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)沒有，但是可以作為綜合題目的一個(gè)知識(shí)的出現(xiàn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，在a，b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（ n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…，yn，b成等比數(shù)列．老師給出下列五個(gè)式子：①
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=1
xk＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
＜
ab
；④
ny1y2…yn
=
ab
；⑤
ny1y2…yn
＞
ab
．其中一定成立的是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按要求證明下列各題．
（1）已知a1+a2+a3+a4＞100，用反證法證明a1，a2，a3，a4中，至少有一個(gè)數(shù)大于25；
（2）已知a，b是不相等的正數(shù)．用分析法證明a3+b3＞a2b+ab2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b是不相等的正數(shù)，x=
a
+
b
2
，y=
a+b
，則x，y的大小關(guān)系是
x＜y
x＜y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b是不相等的兩個(gè)正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)x1，x2，…xn和y1，y2，…yn（n∈N﹢，且n≥2），使得a，x1，x2，…xn，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…yn，b成等比數(shù)列，則下列四個(gè)式子中，一定成立的是
①②
①②
．（填上你認(rèn)為正確的所有式子的序號(hào)）
①
n
k=i
xi=
n(a+b)
2
；②
1
n
n
k=i
xi=
a+b
2
＞
ab
+(
a
-
b
2
)2；③
ny1y2…yn
=
ab
；④
ny1y2…yn
＞
2ab
a+b
．

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