Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，．

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)切線方程可知，即可求解；

（2）①求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，顯然時(shí)，恒成立，不符合題意，時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)最小值，函數(shù)有零點(diǎn)則最小值需小于0，得，易知在上有1個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)即可求的取值范圍；

②利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)先證明當(dāng)，，時(shí)，，結(jié)合①可得，取對數(shù)即可得出結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，

所以切線的斜率為，解得，

所以實(shí)數(shù)的值為0．

（2）①由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且．

當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在上為增函數(shù)，

故至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)時(shí)，令，則．

若，則，

所以在上為增函數(shù);

若，則，

所以在上為減函數(shù)．

故的最小值為．

依題意知，解得．

一方面，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)．

另一方面，先證明．

令，則

當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù);

當(dāng)時(shí)，．故在上為減函數(shù)．

所以的最大值為，故．

因?yàn)?/span>，所以．

而．

令，，則

當(dāng)時(shí)，．故在上為增函數(shù)，

所以

故

因此在上有1個(gè)零點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

②先證明當(dāng)，，時(shí)，

．（*）

不妨設(shè)，

（*）式等價(jià)，

等價(jià)于

在中，令，即證．

令

則，

所以在上為增函數(shù)，故，

所以成立，

所以成立．

在中，令，即證．

令，則，

所以在上為減函數(shù)，故，

所以成立，

所以成立．

綜上，（*）式成立．

由①得有2個(gè)零點(diǎn)，，

則，所以，

兩邊取“”得，

所以．

利用得：，

所以且．

又因?yàn)?/span>

所以，

故．

因此．