Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E，GC，GD是圓O的切線，點(diǎn)F在DG的延長線上，且.求證：（1）D、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查四點(diǎn)共圓問題，線線垂直的證明，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.第一問，利用切線的性質(zhì)得出，，利用圓心角和圓周角的關(guān)系得出，，通過角之間轉(zhuǎn)化得出，所以四點(diǎn)共圓；第二問，通過邊長相等，確定四點(diǎn)所在圓的圓心為，利用半徑相等得出在等腰三角形，所以，通過角之間的轉(zhuǎn)化，證出，所以．  
試題解析：（Ⅰ）如圖，連結(jié)，，則，，
設(shè)，，，
，．
所以．                    …3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030140311720.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240301403421206.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，所以四點(diǎn)共圓．           …5分

（Ⅱ）延長交于．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030140514646.png" style="vertical-align:middle;" />，所以點(diǎn)是經(jīng)過四點(diǎn)的圓的圓心．
所以，所以．                       …8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030140592825.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，所以，
所以，即．                          …10分