設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(P)=(
1
2
,x,y)則
1
x
+
4
y
的最小值( 。
分析:利用數(shù)量積即可得出三角形ABC的面積和x與y的關(guān)系式,再利用基本不等式即可得出.
解答:解:∵
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,∴cbcos30°=2
3
,化為bc=4.
S△ABC=
1
2
bcsin30°
=1.
∴f(P)=
1
2
+x+y=1
,得x+y=
1
2
.(x>0,y>0).
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)
=2(5+
y
x
+
4x
y
)
≥2(5+2
y
x
4x
y
)
=18.當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=
1
3
時(shí)取等號(hào).
1
x
+
4
y
的最小值為18.
故選D.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握三角形的面積計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式是解題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且△ABC的面積為1,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(
1
2
,x,y),則
1
x
+
4
y
的最小值是( 。
A、8B、9C、16D、18

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•上海模擬)設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(
1
2
,x,y),則
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定義f(x)=(m,n,p),其中m,n,p分別是△MBC,△MAC,△MAB的面積,若f(Q)=(
1
2
,x,y)
,
1
x
+
4
y
=a , 則
a2+2
a
的取值范圍是
[
163
9
,+∞
[
163
9
,+∞

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
AC
=4
3
,∠BAC=30°
,定義f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(1,x,y),則
1
x
+
4
y
的最小值
( 。

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