(2008•上海模擬)設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(
1
2
,x,y),則
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18
分析:由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及∠ABC的度數(shù),求出|
AB
||
AC
|
的值,再由sinA的值,利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積為1,即△MBC,△MCA,△MAB的面積之和為1,根據(jù)題中定義的f(M)=(
1
2
,x,y)
,得出x+y=
1
2
,利用此關(guān)系式對(duì)所求式子進(jìn)行變形后,利用基本不等式即可求出所求式子的最小值.
解答:解:由
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°
,
|
AB
||
AC
|=4

所以S=
1
2
|
AB
||
AC
|sinA=1
,
∴x+y=
1
2
,
1
x
+
4
y
=2(
x+y
x
+
4x+4y
y
)=2(5+
y
x
+4
x
y
)≥18
,
當(dāng)且僅當(dāng)
x=
1
6
y=
1
3
時(shí),
1
x
+
4
y
的最小值為18.
故答案為:18
點(diǎn)評(píng):此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,新定義的理解,以及基本不等式的應(yīng)用,得出x+y的值后,靈活變換所求的式子是求最小值的關(guān)鍵.
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3
x
的焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是
3
y=0
的雙曲線方程為
x2
9
-
y2
3
=1
x2
9
-
y2
3
=1

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(2008•上海模擬)已知AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長(zhǎng)軸,若把該長(zhǎng)軸n等分,過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)作AB的垂線,依次交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,Pn-1,設(shè)左焦點(diǎn)為F1,則
lim
n→∞
1
n
(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)
=
a
a

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(2008•上海模擬)已知向量
m
n
,其中
m
=(
1
x3+c-1
,-1)
,
n
=(-1,y)
(x,y,c∈R),把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x),若函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ) 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且對(duì)于任意n∈N*,都有“{f(an)}的前n項(xiàng)和等于Sn2,”求數(shù)列{an}的通項(xiàng)式;
(Ⅲ) 若數(shù)列{bn}滿足bn=4n-a•2an+1(a∈R),求數(shù)列{bn}的最小值.

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[0,1]
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