【題目】中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美,給出定義:能夠?qū)AO的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”,給出下列命題:
①對于任意一個圓O,其“優(yōu)美函數(shù)“有無數(shù)個”;
②函數(shù) 可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
③正弦函數(shù)y=sinx可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
④函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形.
其中正確的命題是( )

A.①③
B.①③④
C.②③
D.①④

【答案】A
【解析】解:過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分,
故對于任意一個圓O,其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個,故①正確;
函數(shù) 的大致圖象如圖1,故其不可能為圓的“優(yōu)美函數(shù)”;∴②不正確;
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上,
則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
故有無數(shù)個圓成立,故③正確;
函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,則y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”,
但函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”時,圖象不一定是中心對稱圖形,如圖2,

故選:A.
過圓心的直線都可以將圓的周長和面積同時平分,故①正確;
作函數(shù) 的大致圖象,從而判斷②的正誤;
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對稱中心上,則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”;即可判斷③的正誤;
函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,則y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”,但函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”時,圖象不一定是中心對稱圖形,作圖舉反例即可.

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回歸直線方程是: ,其中 ,
參考數(shù)據(jù): ,
(1)若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀,求這8位同學中恰有3位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率;
(2)若這8位同學的數(shù)學、物理、化學分數(shù)事實上對應如下表:

學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

數(shù)學分數(shù)x

60

65

70

75

80

85

90

95

物理分數(shù)y

72

77

80

84

88

90

93

95

化學分數(shù)z

67

72

76

80

84

87

90

92

①用變量y與x、z與x的相關系數(shù)說明物理與數(shù)學、化學與數(shù)學的相關程度;
②求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),當某同學的數(shù)學成績?yōu)?0分時,估計其物理、化學兩科的得分.

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(Ⅰ)求a,b;
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