【題目】已知函數(shù)， （， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）試討論函數(shù)的極值情況；

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，總有.

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內(nèi)的所有根；判斷的根左右兩側(cè)值的符號(hào)即可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)， ，研究函數(shù)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，可證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)， ，即可得結(jié)果.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，

.

①當(dāng)時(shí)， ，故在內(nèi)單調(diào)遞減， 無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無(wú)極小值.

（2）證法一：當(dāng)時(shí)， .

設(shè)函數(shù) ，

則.記，

則.

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)， .

即當(dāng)且時(shí)， .

所以當(dāng)且時(shí)，總有.

證法二：當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>且，故只需證.

當(dāng)時(shí)， 成立；

當(dāng)時(shí)， ，即證.

令，則由，得.

在內(nèi)， ；

在內(nèi)， ，

所以.

故當(dāng)時(shí)， 成立.

綜上得原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當(dāng)x≠x0時(shí)，若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，問(wèn)函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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