Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當x≠x0時，若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉點”．當a=8時，問函數(shù)y=f（x）是否存在“轉點”？若存在，求出“轉點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f′（x）=2x﹣3+ = ，

當f′（x）＞0時，0＜x＜ ，或x＞1，

當f′（x）＜0時， ＜x＜1，

∴f（x）在（0， ）和（1，+∞）遞增，在（ ，1）遞減；

∴x= 時，f（x）極大值=﹣ +ln ，

x=1時，f（x）極小值=﹣2

（2）解：a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0，f（x0））處的切線方程，

得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0，

設F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，

F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）

= （x﹣x0）（x﹣ ）；

當0＜x0＜2時，F(xiàn)（x）在（x0， ）上遞減，

∴x∈（x0， ）時，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，此時 ＜0，

x0＞2時，F(xiàn)（x）在（ ，x0）上遞減；

∴x∈（ ，x0）時，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，此時 ＜0，

∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“轉點”，

x0=2時，F(xiàn)′（x）= （x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

x＞x0時，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，x＜x0時，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，

即點P（x0，f（x0））為“轉點”，

故函數(shù)y=f（x）存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標．

【解析】（1）將a=1代入函數(shù)表達式，求出導函數(shù)得到單調區(qū)間從而求出函數(shù)的極值；（2）a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0 ， f（x0））處的切線方程，得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0 ， 設F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，F(xiàn)′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）= （x﹣x0）（x﹣ ）；分別討論當0＜x0＜2，x0=2，x0＞2時的情況，從而得出結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．