Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x-

1

2

x²
（1）若f（x）在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：x＞0時(shí)，f（x）＞1+x．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=ae^x-x；從而由增函數(shù)知f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，從而化為最值問題；
（2）若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；h″（x）=e^x-1，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，再證明即可．

解答： 解：（1）f（x）=ae^x-

1

2

x²，f′（x）=ae^x-x；
∵f（x）在R上為增函數(shù)，
∴f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，
故a≥

x

ex

恒成立；
令F（x）=

x

ex

，則F′（x）=

1-x

ex

，
則F（x）=

x

ex

在x=1處取的最大值，
a≥

1

e

；
故a的取值范圍為[

1

e

，+∞）；
（2）證明：若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，
令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；
h″（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，h″（x）＞0；
故h′（x）=e^x-x-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
h′（x）=e^x-x-1＞h′（0）=0；
故h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故h（x）＞h（0）=1-1=0；
故x＞0時(shí)，f（x）＞1+x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法及應(yīng)用，屬于中檔題．