Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥側(cè)面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，∠CAA1=

π

3

，D、E分別為AA₁、A₁C的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由線面垂直的性質(zhì)可得 BC⊥A₁C，由勾股定理可得AC⊥A₁C，從而證得 A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量的坐標，求出法向量夾角的余弦值，再把余弦值取絕對值，即得平面BDE與ABC所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵BC⊥側(cè)面AA₁C₁C，A₁C?面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C．
在△AA₁C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=

π

3

，
由余弦定理得A1C2=AC2+A

A

1 2

-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos

π

3

=3，
所以A1C=

3

．故有AC²+A₁C²=AA₁²，所以，AC⊥A₁C，而AC∩BC=C，∴A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如圖，以C為空間坐標系的原點，分別以CA，CA₁，CB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，

3

，0)，
由此可得：D(

1

2

，

3

2

，0)，E(0，

3

2

，0)

BD

=(

1

2

，

3

2

，-1)，

BE

=(0，

3

2

，-1)．
設(shè)平面BDE的法向量為

n

=(x，y，z)，則有

n • BD =0 n • BE =0

，得

1 2 x+ 3 2 y-z=0 3 2 y-z=0

．
令z=1，則x=0，y=

2

3

，∴

n

=(0，

2

3

，1)是平面BDE的一個法向量，∵A₁C⊥平面ABC，
∴

CA1

=(0，

3

，0)是平面ABC的一個法向量，
∴cos＜

n

，

CA1

＞=

n • CA1

| n || CA1 |

=

2 7

7

，
所以，平面BDE與ABC所成銳二面角的余弦值為

2 7

7

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，求出二面角的兩個面的法向量的坐標是解題
的關(guān)鍵和難點．