如果在（a，b）（a＜b）上的函數(shù)f（x），對(duì)于?x1，x2∈（a，b）都有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f(x1)+f(x2)]（x1≠x2），則稱(chēng)f（x）在（a．b）上是凹函數(shù)，設(shè)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，其函數(shù)f′（x）在（a，b）上也可導(dǎo)，并記[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，證明：f（x）在（a，b）上是凹函數(shù)
（2）若f（x）=（x2-2ax-a+a2）ex-lnx，用（1）的結(jié)論證明：當(dāng)a＜-2時(shí)f（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)在（a，b）上f''（x）＞0，則f′（x）在（a，b）上是增函數(shù)，然后可證∴
∫
x1+x2
2
x1
f′(x)dx＜
∫
x2
x1+x2
2
f′(x)dx，從而得到f(
x1+x2
2
)＜
1
2
[f(x1)+f(x2)]，即可證得結(jié)論；
（2）先求f''（x），然后判定其符號(hào)，根據(jù)（1）的結(jié)論可證得當(dāng)a＜-2時(shí)f（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù)．
解答：（1）證明：∵在（a，b）上f''（x）＞0∴f′（x）在（a，b）上是增函數(shù)，不妨設(shè)x1＜x2
∴
∫
x1+x2
2
x1
f′(x)dx＜
∫
x1+x2
2
x1
f′(
x1+x2
2
)dx=
x2-x1
2
f′(
x1+x2
2
)
∫
x2
x1+x2
2
f′(x)dx＞
∫
x2
x1+x2
2
f′(
x1+x2
2
)dx=
x2-x1
2
f′(
x1+x2
2
)
∴
∫
x1+x2
2
x1
f′(x)dx＜
∫
x2
x1+x2
2
f′(x)dx
∴f(x)
.
x1+x2
2
x1
＜f(x)
.
x2
x1+x2
2
從而f(
x1+x2
2
)＜
1
2
[f(x1)+f(x2)]（6分）
（2）f′（x）=[x2+2(1-a)x-3a+a2]ex-
1
x

f''（x）=[x2+2(2-a)x+2-5a+a2]ex+
1
x2
（2分）
令F（x）=x2+2（2-a）x+2-5a+a2
△=4[（a-2）2-a2+5a-2]=4（a+2）
∵a＜-2∴△＜0                         （4分）
∴F（x）＞0，從而f''（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù)                                   （6分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值，稱(chēng)點(diǎn)（x0，f（x0））是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=（ax-b）e
a
x
（x≠0且a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）總存在有兩個(gè)極值點(diǎn)A，B，求a，b所滿足的關(guān)系；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的區(qū)域內(nèi)時(shí)實(shí)數(shù)b的范圍．
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)駐點(diǎn)A，且存在a∈R，使A在不等式
|x|＜1
|y|＜e2
表示的區(qū)域內(nèi)，證明：0≤b＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)一模）對(duì)于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么稱(chēng)h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由．
第一組：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
π
3
)；
第二組：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
（2）設(shè)f1(x)=log2x，f2(x)=log
1
2
x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）設(shè)f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
1
x
(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x1，x2且x1+x2=1，試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出這個(gè)m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

“要使函數(shù)f（x）≥0成立，只要x不在區(qū)間[a，b]內(nèi)就可以了”的意思是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)m處的切線l∥AB，則稱(chēng)AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)X0=
x1+x22
時(shí)，又稱(chēng)AB存在“中值伴侶切線”．
（1）函數(shù)f（x）=x2圖象上兩點(diǎn)A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侶切線”；
（2）若函數(shù)f（x）=lnx，試問(wèn)：在函數(shù)f（x）上是否存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線”，若存在，求出A、B的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

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