(2009•浦東新區(qū)一模)對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.
第一組:f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)
;
第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)設(shè)f1(x)=log2x,f2(x)=log
1
2
x,a=2,b=1
,生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求實數(shù)t的取值范圍.
(3)設(shè)f1(x)=x(x>0),f2(x)=
1
x
(x>0)
,取a>0,b>0生成函數(shù)h(x)圖象的最低點坐標為(2,8).若對于任意正實數(shù)x1,x2且x1+x2=1,試問是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個m的值;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)化簡h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),使得與h(x)=sin(x+
π
3
)
相同,求出a,b判斷結(jié)果滿足題意;類似方法計算判斷第二組.
(2)設(shè)f1(x)=log2x,f2(x)=log
1
2
x,a=2,b=1
,生成函數(shù)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log
1
2
x=log2x
化簡不等式h(4x)+t•h(2x)<0,在x∈[2,4]上有解,就是求t<-
2+log2x
1+log2x
=-1-
1
1+log2x
的最大值,即可.
(3)由題意得,h(x)=ax+
b
x
(x>0)
,則h(x)=ax+
b
x
≥2
ab
,由于生成函數(shù)h(x)圖象的最低點坐標為(2,8).故
2a+
b
2
=8
2
ab
=8
,可求得
a=2
b=8
所以函數(shù)h(x)=2x+
8
x
(x>0)
.假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立.即有u=h(x1)h(x2)=4(x1+
4
x1
)(x2+
4
x2
)
,從而轉(zhuǎn)化為求u的最小值即可.
解答:解:(1)①設(shè)asinx+bcosx=sin(x+
π
3
)
,即asinx+bcosx=
1
2
sinx+
3
2
cosx

a=
1
2
,b=
3
2
,所以h(x)是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
②設(shè)a(x2+x)+b(x2+x+1)=x2-x+1,即(a+b)x2+(a+b)x+b=x2-x+1,則
a+b=1
a+b=-1
b=1
,該方程組無解.
所以h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).…(4分)
(2)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log
1
2
x=log2x
h(4x)+t•h(2x)<0,即log2(4x)+t•log2(2x)<0
所以,(2+log2x)+t(1+log2x)<0.因為x∈[2,4],所以1+log2x∈[2,3]
t<-
2+log2x
1+log2x
=-1-
1
1+log2x
,函數(shù)y=-1-
1
1+log2x
在[2,4]上單調(diào)遞增,所以ymax=-
4
3

t<-
4
3
.                 …(10分)
(3)由題意得,h(x)=ax+
b
x
(x>0)
,則h(x)=ax+
b
x
≥2
ab
,
2a+
b
2
=8
2
ab
=8
,解得
a=2
b=8
所以h(x)=2x+
8
x
(x>0)
.        …(12分)
假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立.
于是設(shè)u=h(x1)h(x2)=4(x1+
4
x1
)(x2+
4
x2
)
=4x1x2+
64
x1x2
+16(
x1
x2
+
x2
x1
)=4x1x2+
64
x1x2
+16•
x12+x22
x1x2

=4x1x2+
64
x1x2
+16•
(x1+x2)2-2x1x2
x1x2
=4x1x2+
80
x1x2
-32

設(shè)t=x1x2,則t=x1x2≤(
x1+x2
2
)2=
1
4
,即t∈(0,
1
4
]

設(shè)u=4t+
80
t
-32,t∈(0,
1
4
]

因為u′(t)=4-
80
t2
<0,t∈(0,
1
4
]
,所以u=4t+
80
t
-32
,在(0,
1
4
]
上單調(diào)遞減,從而u≥u(
1
4
)=289

故存在最大的常數(shù)m=289…(16分)
點評:本題考查其他不等式的解法,函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素,函數(shù)恒成立問題,考查值思想,分類討論,計算能力,函數(shù)與方程的思想,是中檔題.
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3
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3
+1
2
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=
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.
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.
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