Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且an+an+1=2(n+1)2，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得an+1=2(n+1)2-an，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想an=n(n+1)， n∈N*，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（1）a₂=6，a₃=12，a₄=20；…（6分）
（2）猜想an=n(n+1)， n∈N*；
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1×（1+1）=2，命題成立
2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立．即a_k=k（k+1）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1=2(k+1)2-ak =2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)(2k+2-k) =(k+1)(k+2) =(k+1)[(k+1)+1]

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立
由1），2）可得對(duì)于任意的正整數(shù)n，an=n(n+1)， n∈N*．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．