Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a²-2a+2，a_n+1=a_n+2（n-2）+1，n∈N^*，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)a最小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，3）
• B、（

  5

  2

  ，3）
• C、（2，4）
• D、（

  5

  2

  ，

  7

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：在數(shù)列遞推式中分別取n=1，2，…，累加后得到a_n=n²-2an+a²+1．求出該數(shù)列函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合已知列不等式求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由a_n+1=a_n+2（n-2）+1，得：
a₂-a₁=2（1-a）+1，
a₃-a₂=2（2-a）+1，
a₄-a₃=2（3-a）+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1-a）+1．
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）+（n-1）a]+n-1
=a₁+（n-1）n-2（n-1）a，
∵a₁=a²-2a+2，
∴f（n）=a_n=a²-2a+2+n²-n-2（n-1）a+n-1=n²-2an+a²+1．
該函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為n=a．
∵n∈N^*
∴當(dāng)

5

2

＜a＜

7

2

時(shí)，f（n）=a_n最小．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．