【題目】已知圓,圓與圓關(guān)于直線對稱.
(1)求圓的方程;
(2)過直線上的點(diǎn)分別作斜率為的兩條直線,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.
(i)求的坐標(biāo);
(ⅱ)過任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.
【答案】(1);(2)(i),(ii)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可得到,半徑不變,從而得到方程;
(2) (i) 設(shè),由于弦長和距離都相等,故P到兩直線的距離也相等,利用點(diǎn)到線距離公式即可得到答案;
(ⅱ)分別討論斜率不存在和為0三種情況分別計(jì)算對應(yīng)弦長,故可判斷.
(1)設(shè),因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對稱,,
則直線與直線垂直,中點(diǎn)在直線上,得
解得所以圓.
(2)(i)設(shè)的方程為,即;
的方程為,即.
因?yàn)?/span>被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等,且兩圓半徑相等,
所以到的距離與到的距離相等,即,
所以或.
由題意,到直線的距離,
所以不滿足題意,舍去,
故,點(diǎn)坐標(biāo)為.
(ii)過點(diǎn)任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交,所得弦長恒相等.
證明如下:
當(dāng)的斜率等于0時(shí),的斜率不存在,被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的半徑;
當(dāng)的斜率不存在,的斜率等于0時(shí),與圓不相交,與圓不相交.
當(dāng)、的斜率存在且都不等于0,兩條直線分別與兩圓相交時(shí),設(shè)、的方程分別為,即.
因?yàn)?/span>到的距離,
到的距離,所以到的距離與到的距離相等.
所以圓與圓的半徑相等,所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.
綜上所述,過點(diǎn)任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交,所得弦長恒相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。
(Ⅰ)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值;
(Ⅱ)設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的y值為5,則判斷框中可填入的條件是( )
A.i<3
B.i<4
C.i<5
D.i<6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使不等式成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在很多人喜歡自助游,2017年孝感楊店桃花節(jié),美麗的桃花風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān),在孝感桃花節(jié)期間,隨機(jī)抽取了人,得如下所示的列聯(lián)表:
贊成“自助游” | 不贊成“自助游” | 合計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
合計(jì) |
(1)若在這人中,按性別分層抽取一個(gè)容量為的樣本,女性應(yīng)抽人,請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并據(jù)此資料能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下,認(rèn)為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系?
(2)若以抽取樣本的頻率為概率,從旅游節(jié)大量游客中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送精美紀(jì)念品,記這人中贊成“自助游”人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=emx﹣lnx﹣2.
(1)若m=1,證明:存在唯一實(shí)數(shù)t∈( ,1),使得f′(t)=0;
(2)求證:存在0<m<1,使得f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市大力推廣純電動(dòng)汽車,對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),予以地方財(cái)政補(bǔ)貼.其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:
2017年底隨機(jī)調(diào)査該市1000輛純電動(dòng)汽車,統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程,得到頻率分布直方圖如圖所示.
用樣本估計(jì)總體,頻率估計(jì)概率,解決如下問題:
(1)求該市純電動(dòng)汽車2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值;
(2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù),得如下的頻數(shù)分布表:
(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
2018年2月,國家出臺(tái)政策,將純電動(dòng)汽車財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來.該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購置.直流充電樁5萬元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電30輛車,每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái); 交流充電樁1萬元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電4輛車,每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái).
該企業(yè)現(xiàn)有兩種購置方案:
方案一:購買100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁;
方案二:購買200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁.
假設(shè)車輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備,且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入,用2017年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤.(日利潤日收入日維護(hù)費(fèi)用)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時(shí))的函數(shù)為 .
(1)當(dāng)千米/小時(shí)時(shí),行駛千米耗油量多少升?
(2)若油箱有升油,則該型號(hào)汽車最多行駛多少千米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線截以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長為.
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),,當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(3)設(shè),是圓上任意兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,若直線,分別交軸于點(diǎn)和,問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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