(本題滿分12分)
已知a∈R,函數f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)證明:當0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.
(1)函數f(x)的單調遞增區(qū)間為和,
單調遞減區(qū)間為.(2)見解析。
解析試題分析:(1)根據函數的導數符號與函數單調性的關系來判定求解其單調區(qū)間。
(2)要證明不等式恒成立問題,那么要轉化為函數的最值問題來處理即可或者構造函數求解函數的 最小值大于零得到。
解:
(1)由題意得f′(x)=12x2-2a.
當a≤0時,f′(x)≥0恒成立,此時f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞).
當a>0 時,f′(x)=12,此時
函數f(x)的單調遞增區(qū)間為和,
單調遞減區(qū)間為.
(2)由于0≤x≤1,故
當a≤2時,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.
當a>2時,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.
設g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,則g′(x)=6x2-2=6,于是
所以g(x)min=g=1->0.
x
0 - 0 + 1 減函數 極小值 增函數 1
所以當0≤x≤1時,2x3-2x+1>0.
故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.
考點:本試題主要考查了導數在研究函數問題中的運用。
點評:對于含有參數的二次不等式問題的求解是解決導數中常見的非常重要的,注意對于開口和判別式的情況進行分類討論得到結論。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分10分) 如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成的曲邊三角形,在曲線弧OB上求一點M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知函數f(x)=x3+ax2+(a+6)x+b(a,b∈R).
(1)若函數f(x)的圖象過原點,且在原點處的切線斜率是3,求a,b的值;
(2)若f(x)為R上的單調遞增函數,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知函數(),.
(Ⅰ)當時,解關于的不等式:;
(Ⅱ)當時,記,過點是否存在函數圖象的切線?若存在,有多少條?若不存在,說明理由;
(Ⅲ)若是使恒成立的最小值,對任意,
試比較與的大小(常數).
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知函數.
(Ⅰ)求函數的極大值;
(Ⅱ)若對滿足的任意實數恒成立,求實數的取值范圍(這里是自然對數的底數);
(Ⅲ)求證:對任意正數、、、,恒有
.
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