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【題目】已知橢圓經過點，離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得關于的方程組，求得的值，則橢圓方程可求；
（2）聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系及四邊形是平行四邊形，可得點坐標，把點坐標代入橢圓方程，得到，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值．

解：（1）因為橢圓過點，代入橢圓方程，可得①，

又因為離心率為，所以，從而②，

聯立①②，解得，，

所以橢圓為；

（2）把代入橢圓方程，

得，

所以，

設，，則，

所以，

因為四邊形是平行四邊形，

所以，

所以點坐標為.

又因為點在橢圓上，

所以，即.

因為

.

又點到直線的距離，

所以平行四邊形的面積

，

即平行四邊形的面積為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（為常數且）與直線有且只有一個公共點，．

（Ⅰ）當點的坐標為時，求直線的方程；

（Ⅱ）過橢圓的兩焦點，作直線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的最大值（用表示）．

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【題目】已知數列{an}滿足，an+1＝an+1，a1＝a，則一定存在a，使數列中（ ）

A.存在n∈N*，有an+1an+2＜0

B.存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0

C.存在n∈N*，有

D.存在n∈N*，有

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體ABCD－EFGH的一個截面經過頂點A、C及棱EF上一點K，且將正方體分成體積比為3：1的兩部分，則的值為______ .

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【題目】已知函數的圖象的一條對稱軸為，則下列結論中正確的是（ ）

A.是最小正周期為的奇函數

B.是圖像的一個對稱中心

C.在上單調遞增

D.先將函數圖象上各點的縱坐標縮短為原來的，然后把所得函數圖象再向左平移個單位長度，即可得到函數的圖象.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點（點A在x軸上方），與y軸的正半軸相交于點N，點Q是拋物線不同于A，B的點，若2，則|BF|：|BA|：|BN|＝_____．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，為其導函數．

（Ⅰ）當，時，求函數的極值；

（Ⅱ）設，當時，對任意的，都有恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為是上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于的直線交于異于的兩點．點關于原點的對稱點為．證明：直線與軸圍成的三角形是等腰三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體的底面為正方形，，，，，是棱的中點，平面與直線相交于點．

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值．

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