如圖,四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,側(cè)棱與底面垂直,ABCD,AD⊥DC,且AB=AD=1,BC=
2
AA′=
6
2

(I)求證:DB⊥BC′;
(II)求二面角A′-BD-C的大小.
證明:(I)作BM⊥CD,垂足為M,連接AM.
因?yàn)锳BCD,AD⊥DC,BM⊥CD,且AB=AD=1,
∴四邊形ABMD是正方形
∴BM=DM=1,BD=
2

又∵BC=
2
,
∴CM=
BC2-BM2
=1
∴CD=2,即CD2=BD2+BC2
∴DB⊥BC,
又∵DB⊥B′B,B′B∩BC=B
∴DB⊥平面BC′
而B(niǎo)C′?平面BC′
∴DB⊥BC′
(II)設(shè)AM與BD交于點(diǎn)E,連接A′E
由(I)知,ME⊥BD,且DE=BE
∵A′A⊥平面ABCD,
∴A′A⊥AD,A′A⊥AB
又∵AB=AD=1,∴A′D=A′B
又∵DE=BE,
∴A′E⊥BD
綜上可知∠A′EM即為二面角A′-BD-C的平面角,
在△A′AE中,∵A′A=
6
2
,AE=
1
2
BD=
2
2

∴tan∠A′EA=
AA′
AE
=
3

即∠A′EA=60°
∴∠A′EM=120°
∴二面角A′-BD-C的大小為120°
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱與底面成角為60°,過(guò)底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角,則此截面的面積為(  )
A.
3
4
a2
B.
3
3
a2
C.
1
3
a2
D.
3
8
a2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知
u
=(-2,2,5)
,
v
=(6,-4,4)
,
u
,
v
分別是平面α,β的法向量,則平面α,β的位置關(guān)系式( 。
A.平行B.垂直
C.所成的二面角為銳角D.所成的二面角為鈍角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知梯形ABCD中,ADBC,∠ABC=∠BAD=
π
2
,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EFBC,AE=x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖).
(1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;
(3)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖:正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)求二面角D-AB-C的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一個(gè)四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形及其一條對(duì)角線,側(cè)視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2,直觀圖如圖.
(1)求四棱錐P一ABCD的體積:
(2)求二面角C-PB-A大。
(3)M為棱PB上的點(diǎn),當(dāng)PM長(zhǎng)為何值時(shí),CM⊥PA?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中點(diǎn).
(I)求證:A1B平面AEC1;
(II)若棱AA1上存在一點(diǎn)M,滿足B1M⊥C1E,求AM的長(zhǎng);
(Ⅲ)求平面AEC1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是直線BC1的動(dòng)點(diǎn),則下列四個(gè)命題:
①三棱錐A-D1PC的體積不變;
②直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;
③二面角P-AD1-C的大小不變:
其中正確的命題有____      .(把所有正確命題的編號(hào)填在橫線上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知α,β是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)條件:
①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β;
②存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
③存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;
④存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.
可以推出α∥β的是(  )
A.①③B.②④C.①④D.②③

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同步練習(xí)冊(cè)答案