Question

（本題滿分8分）

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P（如圖2）

（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求二面角A₁－BP－E的大小。

Answer 1

（本題滿分8分）

解：不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則

（I）在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF為正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁－EF－B的一個平面角，

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE。

又BEEF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP。（4分）

（II）在圖2中,過E點作BP的垂線，并交BP于G點，連接A₁G，由（I）知A₁E⊥平面BEP，∴ A₁GE即為二面角A₁－BP－E的平面角，又A₁E=1，GE=，∴A₁GE=，∴A₁GE=，即所求為。（8分）