Question

（09年湖北鄂州5月模擬理）（14分）設(shè)函數(shù)．

⑴求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵是否存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f (x)≥a的解集為(0，＋∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：⑴                                       3分

故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)＞0，x∈(1，＋∞)時(shí)＜0

所以在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減                                                5分

由此知在(0，＋∞)內(nèi)的極大值為＝ln2，沒(méi)有極小值                  6分

⑵(i)當(dāng)a≤0時(shí)，由于

故關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞)                                          10分

(ii)當(dāng)a＞0時(shí)，由知

其中n為正整數(shù)，且有

又n≥2時(shí)，且

取整數(shù)n_o滿(mǎn)足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即當(dāng)a＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                 13分

綜合(i)、(ii)知，存在a使得關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]

法二：

注：事實(shí)上，注意到定義域?yàn)?0，＋∞)，只須求之下限

結(jié)合(1)，并計(jì)算得

故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]