已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足以下三個條件：①；②對任意的，都有；③當時總有．
（1）試求的值；
（2）求的最大值；
（3）證明：當時，恒有．
（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）抽象函數(shù)求在特殊點的值，一般用賦值法，令代入抽象函數(shù)可得，又因為，可得.（2）在定義域內求抽象函數(shù)最值，一般先判斷函數(shù)單調性，再求比較定義域端點的函數(shù)值和極值點的大小.證明單調性可令，代入得進而得函數(shù)為增函數(shù)，最大值為；
（3）在上證不等式，要分兩段、.在上，，所以.在，，所以，進而得證.
試題解析：（1）令則有，所以有，有根據條件?可知，故.（也可令）
方法一：設，則有，即為增函數(shù)（嚴格來講為不減函數(shù)），所以，故.
方法二：不妨令，所以由?，即增函數(shù)（嚴格來講為不減函數(shù)），所以，故.
（3）當，有，又由?可知，所以有對任意的恒成立.當，又由?可知，所以有對任意的恒成立.綜上，對任意的時，恒有.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時的解析式為.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式;
（Ⅱ）求函數(shù)的零點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如果，則當時，（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知是函數(shù)圖象上的任意一點，是該圖象的兩個端點， 點滿足，（其中是軸上的單位向量），若(為常數(shù))在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上具有 “性質”.現(xiàn)有函數(shù)：
①;        ②；     ③；   ④.
則在區(qū)間上具有“性質”的函數(shù)為        .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)，若存在當時，則的取值范圍是                      

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

方程的解所在的區(qū)間為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如表.
的導函數(shù)的圖象如圖所示.下列關于函數(shù)的命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在是減函數(shù)；③如果當時，的最大值是2，那么的最大值為4；④當時，函數(shù)有4個零點.其中真命題的個數(shù)是     .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)，若，則         ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設函數(shù)，若實數(shù)滿足，請將按從小到大的順序排列          .（用“”連接）.

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