Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值及曲線在點處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為；切線方程為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先求得函數(shù)的定義與導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系得到函數(shù)的單調(diào)性，由此求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程的斜率，從而求得切線的方程；（2）首先將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后設(shè)，從而通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求得其最大值，進而求得的取值范圍．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

，

令，得；令，得；令，得；

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故函數(shù)的最小值為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，即切線的斜率為2，

故所求切線方程為，即，

化簡得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）不等式恒成立等價于在上恒成立，可得在上恒成立，

設(shè)，則，

令，得，或（舍去）

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

當(dāng)變化時變化情況如下表：

		1
		0
	單調(diào)遞增	-2	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時，取得最大值，，所以，

所以實數(shù)的取值范圍是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分