Question

如圖所示，⊙O的直徑為AB，AD平分∠BAC，AD交⊙O于點D，BC∥DE，且DE交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（Ⅰ）求證：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若AB=10，AC=6求DF的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)OD，得∠ODA=∠OAD=∠DAC，從而OD∥AE，由BC⊥AC，且BC∥DE，得DE⊥OD，由此能證明DE是圓O的切線．
（Ⅱ）過點D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，則∠ACB=90°，從而OH=3，DH=4，AD=4

5

，由角平分線的性質(zhì)得AE=AH=8，由△AEF∽△DOF，由此能求出DF．

解答： （Ⅰ）證明：如圖所示，連結(jié)OD，得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD∥AE，又BC⊥AC，且BC∥DE，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD為半徑，∴DE是圓O的切線．
（Ⅱ）解：過點D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，
又AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
則cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

3

5

=

OH

OD

，
∵OD=5，∴OH=3，DH=4，AD=4

5

，
由角平分線的性質(zhì)得AE=AH=8，
又由△AEF∽△DOF，得

AF

DF

=

AE

DO

=

8

5

，
∴DF=

5×4 5

13

=

20 5

13

．

點評：本題考查圓的切線的證明，三角形相似，考查推理論證能力和運算求解能力．