Question

已知常數(shù)a＞0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且==,P為GE與OF的交點(diǎn)(如圖).問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

剖析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.

解：按題意，有A(-2,0),B(2,0)，C(2,4a),D(-2,4a).

    設(shè)===k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).

    直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0.                   ①

    直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0.              ②

    由①②消去參數(shù)k,得點(diǎn)P(x,y)滿足方程2a²x²+y²-2ay=0.

    整理得+=1.

    當(dāng)a²=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

    當(dāng)a²≠時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長.

    當(dāng)a²＜時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(-,a),(,a)的距離之和為定值2.

    當(dāng)a²＞時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0,a-),(0,a+)的距離之和為定值2a.

講評(píng)：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊(yùn)涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.