Question

已知函數(shù)的圖像是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)時(shí)，該圖像是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義.
Ⅰ.求、和的表達(dá)式；
Ⅱ.求的表達(dá)式，并寫出其定義域；
Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

Answer 1

答案見解析

Ⅰ.解：依題意，又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由，得
又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是斜率為的線段，故由，即得 
記由函數(shù)圖像中第段線段的斜率為，故得
又；所以
由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為因得
即 
Ⅱ. 解：當(dāng)，從Ⅰ可知當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由Ⅰ可知

為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，也趨向于無窮大.
綜上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120706779550.gif" style="vertical-align:middle;" />；
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120706841424.gif" style="vertical-align:middle;" />.
Ⅲ. 證法一：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（ⅰ）由Ⅱ知當(dāng)時(shí),在上,
所以成立
（ⅱ）假設(shè)時(shí)在上恒有成立.
可得
在上,
所以
也成立.
由(ⅰ)與(ⅱ)知,對(duì)所有自然數(shù)在上都有成立.
即 時(shí),恒有.
其次，當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.
故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
證法二:首先證明當(dāng),時(shí),恒有成立.
對(duì)任意的存在,使，此時(shí)有

所以
又所以，
所以，即有成立.
其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時(shí)，恒有成立.
故函數(shù)的圖像與的圖像沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).