Question

某中學從高中三個年級選派2名教師和10名學生去外校考察學習，學生的名額分配如下：

高一年級	高二年級	高三年級
3人	5人	2人

（1）若從10名學生中選出2人做組長，求他們中恰好有1人是高二年級學生的概率；
（2）若將2名教師安排到三個年級（假設每名教師加入各年級是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨立的），記安排到高二年級的教師人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）設“他們中恰好有1人是高二年級學生”為事件A，則事件A中含一名高二學生和一名非高二學生．由此能求出他們中恰好有1人是高二年級學生的概率．
（2）解法1：ξ的所有取值為0，1，2．由題意可知，每位教師選擇高二年級的概率均為

1

3

．分別求出P（ξ=0）；P（ξ=1）；P（ξ=2）．由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由題意知，每位教師選擇高一年級的概率均為

1

3

，則ξ～B（2，

1

3

），由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設“他們中恰好有1人是高二年級學生”為事件A，
則P（A）=

C 1 5 • C 1 5

C 2 10

=

5

9

，
故所求概率為

5

9

．…（6分）
（2）解法1：ξ的所有取值為0，1，2．由題意可知，每位教師選擇高二年級的概率均為

1

3

．
所以P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2=

4

9

；
P（ξ=1）=C

1 2

（

1

3

）（

2

3

）=

4

9

；
P（ξ=2）=

C

2 2

（

1

3

）²（

2

3

）⁰=

1

9

．…..（10分）
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=0×

4

9

+1×

4

9

+2×

1

9

=

2

3

．
解法2：由題意知，每位教師選擇高一年級的概率均為

1

3

，
則隨機變量ξ服從參數(shù)為2，

1

3

的二項分布，即ξ～B（2，

1

3

），
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=np=2×

1

3

=

2

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．