Question

【題目】在中，角所對的邊分別為.

（1）若為邊的中點，求證: ;

（2）若，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1.

【解析】

（1）證法一：根據(jù)為邊的中點，可以得到向量等式，平方，再結(jié)合余弦定理，可以證明出等式；

證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達(dá)式，利用，可以證明出等式；

（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）

所證結(jié)論得：，利用已知

，再結(jié)合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；

解法二：利用余弦定理把表示出來，結(jié)合重要不等式，再利用三角形面積公式可得

，令設(shè)，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.

（1）證法一：由題意得

①

由余弦定理得 ②

將②代入①式并化簡得，

故；

證法二：在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

∵，∴，

則，故；

（2）解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）

所證結(jié)論得：，

又已知，

則，

即，當(dāng)時，等號成立，故，

即面積的最大值為1．

解法二：

設(shè)

則

由，

故.