Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+b，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）用a，b表示f（x）的最大值M；
（Ⅱ）若b=a²，且f（x）的最大值不大于4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²關(guān)于直線x=-a對稱．∴-a≤0時，M=f（1）=1+2a+b，當(dāng)-a＞0時，M=f（-1）=1-2a+b．
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，M=1+2a+a²≤4，當(dāng)a＜0時，M=1-2a+a²≤4即可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²圖角關(guān)于直線x=-a對稱．
且增區(qū)間為[-a，+∞]，減區(qū)間為（-∞，-a]，又x∈[-1，1]…（3分）
∴-a≤0，即a≥0時，M=f（1）=1+2a+b
當(dāng)-a＞0，a＜0時，M=f（-1）=1-2a+b
∴$M=\left\{\begin{array}{l}1+2a+b\;，\;\;a≥0\;，\;\;\\ 1-2a+b\;，\;\;a＜0.\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，M=1+2a+a²≤4，a²+2a-3≤0，0≤a≤1．…（9分）
  當(dāng)a＜0時，M=1-2a+a²≤4，a²-2a-3≤0，-1≤a≤0．…（11分）
∴-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．…（12分）

點評 本題考查了二次函數(shù)的動軸定區(qū)間的最直問題，關(guān)鍵是要結(jié)合圖象及單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．