已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩焦點(diǎn)F1、F2和短軸的兩端點(diǎn)B1、B2正好是一正方形的四個(gè)頂點(diǎn),且焦點(diǎn)到橢圓上一點(diǎn)的最近距離為
2
-1

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn),MN是圓C:x2+(y-2)2=1的任一條直徑,求
PM
PN
的最大值.
分析:(1)由題意知b=c,a-c=
2
-1
可求得a,c和b的值,進(jìn)而橢圓的方程可得.
(2)根據(jù)
PM
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)
PC
2
-1
從而只需求出|
PC
|
的最大值,設(shè)P(x0,y0)代入橢圓方程可得x0和y0,的關(guān)系式,再根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求得
PC
關(guān)于y0的關(guān)系式,進(jìn)而根據(jù)的范圍求得
PC
的范圍,進(jìn)而求得
PM
PN
的最大值.
解答:解:(1)由題意知b=c,a-c=
2
-1,解得a=
2
,c=b=1
,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1

(2)
PM
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)=(
PC
+
CM
)•(
PC
-
CM
)
=
PC
2
-1

從而只需求出|
PC
|
的最大值
設(shè)P(x0,y0),
則有
x02
2
+y02=1
,
即有x02=2-2y02,又C(0,2),
所以
PC
2
=
x
2
0
+(y0-2)2=-(y0+2)2+10

而y0∈[-1,1],
所以y0=-1時(shí),
PC
2
最大值為9,
PM
PN
的最大值為8.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案