Question

求a，b的值，使得關于x的不等式ax²+bx+a²-1≤0的解集分別是：（1）[-1，2]；（2）（-∞，-1]∪[2，+∞）；（3）{2}；（4）[-1，+∞）．

Answer 1

分析：（1）由不等式的解集為[-1，2]，得到a大于0且-1和2為不等式左邊等于0的方程的兩個解，利用韋達定理表示出兩根之和和兩根之積，得到a與b的兩關系式，聯(lián)立即可求出a與b的值；
（2）由不等式的解集為（-∞，-1]∪[2，+∞），得到a小于0且-1和2為不等式左邊等于0的方程的兩個解，利用韋達定理表示出兩根之和和兩根之積，得到a與b的兩關系式，聯(lián)立即可求出a與b的值；
（3）由不等式的解集為{2}，得到2是不等式左邊等于0的方程的解，把x=2代入方程中得到關于a與b的關系式，記作①，且a大于0，根的判別式等于0，列出關于a與b的不等式，記作②，聯(lián)立①②，即可求出a與b的值；
④由不等式的解集為[-1，+∞），得到a=0，b小于0，且-1是不等式左邊等于0的方程的解，代入方程得到關于a與b的關系式，把a=0代入即可求出b的值．

解答：解：（1）由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以

a＞0 -1+2=- b a -1×2= a2-1 a

，解得

a=-1+ 2 b=1- 2

；
（2）由題意可知，a＜0且-1，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以

a＜0 -1+2=- b a -1×2= a2-1 a

，解得

a=-1- 2 b=1+ 2

；
（3）由題意知，2是方程ax²+bx+a²-1=0的根，所以
4a+2b+a²-1=0． ①
又{2}是不等式ax²+bx+a²-1≤0的解集，所以

a＞0 △=b2-4a(a2-1)=0②

，
解①，②得：a=2+

5

，b=-8-4

5

；
（4）由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a²-1=0的根，即-b+a²-1=0，所以
a=0，b=-1．

點評：此題考查學生利用二次函數(shù)的圖象與性質解一元二次不等式，靈活運用韋達定理化簡求值，是一道綜合題．